\section{引力常数$G$}

在上节的讨论中，我们并没有给出式\eqref{eqn:04.02.05}中的$ \alpha ' $值。因
为在解决这个问题的过程中，最终把$ \alpha ' $消去了，式\eqref{eqn:04.02.10}中不
含$ \alpha ' $。下面我们来讨论$ \alpha ' $应是什么。

% 131.jpg
\clearpage
由式\eqref{eqn:04.02.05}，地球对月亮的力为
\begin{equation}\label{eqn:04.03.01}
  F _ { \text{地} \to \text{月}} = m _ {\text{月}} \frac { \alpha ' } { l ^ { 2 } }
\end{equation}
反过来，根据万有引力是普适的，月亮对地球的引力应当有如下
的形式
\begin{equation}\label{eqn:04.03.02}
  F _ { \text{月} \to \text{地}} = m _ {\text{地}} \frac { \alpha '' } { l ^ { 2 } }
\end{equation}
其中$ \alpha '' $是和月亮有关的常数。根据牛顿第三定律，$F _ { \text{地} \to \text{月}}$与$F _ { \text{月} \to \text{地}}$
大小相等，即
\begin{equation*}
  \frac { \alpha ' } { \alpha '' } = \frac { m _ \text{地} } { m _ \text{月} }
\end{equation*}
因此，其解为
\begin{equation*}
  \alpha ' = G m _ { \text{地} } \qquad
  \alpha '' = G m _ { \text{月} }
\end{equation*}
这样，式\eqref{eqn:04.03.01}、\eqref{eqn:04.03.02}两式可统一为
\begin{equation}\label{eqn:04.03.03}
  F = \frac { G m _ { \text{地} } m _ { \text{月} } } { l ^ { 2 } }
\end{equation}

根据引力是普适的观点，任何具有质量$ m_1 $和$ m_2 $、相距$ r $的两
个质点之间的引力，总是沿着两质点的连线方向，其大小为
\begin{equation}\label{eqn:04.03.04}
  F = \frac { G m _ { 1 } m _ { 2 } } { r ^ { 2 } }
\end{equation}
式中$ G $是对所有质点都具有相同数值的普适常数，称为万有引力
常数。这就是牛顿的万有引力定律。

确定万有引力常数$ G $的数值，就要测量两个已知质量的物体
间的引力。1798年，卡文迪许作了第一个精确的测量。他用的扭
秤如图\ref{fig:04.04}~所示。其中两个质量均为$ m $的小球固定在一轻杆的两
端，再用一根细丝将这个杆水平悬挂起来，每个质量$ m $附近各放置
一个质量为$ M $的大球。根据万有引力定律，当大球在位置$ A , B $
时，由于小球受到吸引力，而对悬杆产生一力矩，使其产生转动。\\~\\
% 132.jpg
引力力矩最后被悬丝力矩所平衡。悬丝扭转的角度$ \theta $可以通过小
镜所反射的光来测定。如果已知大球与小球的质量和它们相隔的
距离以及悬丝的扭转常数，就可由测得的$ \theta $值来计算$ G $。
\begin{figure}[h]
  \centering
  \includegraphics{figure/fig04.04}
  \caption{测量引力常数所用的扭秤}
  \label{fig:04.04}
\end{figure}

还曾用过以下几种方法测量引力常数$ G $。

\textsf{1.天平法}

如果天平两边各有质量$ m $，达到平衡。若再将一大质量$ M $放
在某一$ m $之下，由于引力的作用将破坏这个平衡，必须将另一端
之$ m $增加为$ m + \delta m $才能保持平衡。由$ \delta m $及其他天平参数，即可求
出$ G $。

\textsf{2.扭秤周期法}

这种方法的原理是扭秤的摆动周期在引力的作用下会发生变
化。如图\ref{fig:04.04}~所示，若将一个大质量$ M $放在横杆方向，则其摆动周
期将缩短；若$ M $放在垂直于横杆的方向，周期将增加，由周期差
别可以确定$ G $。

\textsf{3.扭秤共振法}

在图\ref{fig:04.04}~中，把两个$ M $也作为一扭秤的两端悬挂起来，这样
形成两扭摆系统，一个扭摆的质量小($ m $)，一个质量大($ M $) 。当
$ M $摆动时，由于引力的作用也将引起$ m $摆动。当调节两个摆的周
% 133.jpg
期相同时，$ m $摆与$ M $摆的振幅之比是正比于$ G $的。因而，由摆的
振幅即可定出$ G $。

用这些方法测得的$ G $值列于表4.2中，从表中看到，从卡文迪
许第一个实验以来，已经有近二百年了，但关于$ G $值的实验精度
进步不大。这是目前测得最不精确的一个物理常数。原因是实验
很难做，一方面引力是四种基本相互作用中最弱的一种；另一方
面，引力是万有的，不能屏蔽，这就意味着干扰很多，不容易排
除。

$ G $的单位是牛顿\cdot 米\.$^2$/千克\.$^2$。关于单位的确定，我们在下节
中作些一般的讨论。
\begin{table}[h]
  \caption{}
  \label{tab:04.02}
  \zihao{-5}
  \begin{tblr}{cell{1}{1-Z}={c,m},colspec={l|c|l|Z},colsep=0.8em}
    \toprule
    \SetCell{c}作\hspace{4em}者 & 年份   & \SetCell{c}方\hspace{4em}法 & {{{$G \times 10^{-11}$ \\牛顿$\cdot$米\textsuperscript{2}/千克\textsuperscript{2}}}} \\
    \midrule
    Cavendish                 & 1798 & 扭秤偏转                      & 6.754                  \\
    Poynting                  & 1891 & 天平偏转                      & 6.698                  \\
    Boys                      & 1895 & 扭秤偏转                      & 6.658                  \\
    Braun                     & 1895 & 扭秤偏转和周期                   & 6.658                  \\
    Heyl                      & 1930 & 扭秤周期                      & 6.678                  \\
    Zahradnicek               & 1933 & 扭秤共振                      & 6.659                  \\
    Heyl and Clirzanowski     & 1942 & 扭秤周期                      & 6.668                  \\
    Rose                      & 1969 & 加速度                       & 6.674                  \\
    \bottomrule
  \end{tblr}
  \vspace{-0.8em}
\end{table}
